過労のせいか、生理が遅れがちです。
予定日より1週間以上遅れることはしょっちゅうですが、止まることはありません。
このまま放っておいても大丈夫でしょうか？

生理は6ヵ月に1回来れば正常の範囲内とされています。
あなたの場合、今のところは大丈夫でしょう。
なるべく疲労を取り除いて、規則正しい生活をしてください。

彼が過去に病気で睾丸を一つ取ったようです。
生活する上で支障はないようですが、将来子供ができにくいなどの影響はあるんでしょうか？

心配はまったくありません。
ですが、気になるようなら、彼に精液検査を受けてもらってもよいでしょう。
精液中の精子の数を調べるもので、産婦人科や泌尿器科で簡単に受けられます。