1週間前、彼とエッチをしていたとき、クリトリスと腿の付け根に発射され、あわてて洗い流しました。
「下の穴にはかけていない」と彼は言いますが、「精子は放出されたら死滅する」とネットで調べたらあったので、安心していましたが、今週になってから、茶色の出血が見られ、2日ばかり続きました。
非常に不安です。こんな場合でも妊娠の可能性ってあるのでしょか。

妊娠している可能性はありません。
妊娠のために必要な精子の量があって、まずは1ccの精液のなかに精子が4000万含まれていること、その精液が3cc膣内に注入される必要があります。
なので、少しかかったぐらいで妊娠することはあり得ません。
茶色の出血は排卵時出血といって、正常な生理現象ですから問題ありません。

妊娠してから、めまいや立ちくらみがひどくなりました。
出産後も、続いています。何かの病気なのでしょうか？　
また、治療法などありましたら教えて下さい。

妊娠すると鉄分が不足して貧血になりやすくなります。
またお腹が大きくなることで血管が圧迫され循環障害が起きることもあります。
あなたの場合は貧血の可能性もありますが、出産後も続いているということなので、マタニティブルー、つまり自律神経の乱れでいろいろな症状が出ているのかもしれません。
まずは、内科を受診してみてください。